Question

19．已知等比数列{a_n}的首项为2，且2a₁•a₂=a₃，且bn=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$，设{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求T_n，并求使不等式T_n＞$\frac{k}{2016}$对一切n∈N^*都成立的正整数k的最大值．

Answer 1

分析 （1）由等比数列通项公式得2×2×2q=2q²，从而得到q=4，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）由${b}_{n}=\frac{1}{lo{g}_{2}{2}^{2n-1}•lo{g}_{2}{2}^{2n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），利用裂项求和法求出{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n}{2n+1}$，由此能求出使不等式T_n＞$\frac{k}{2016}$对一切n∈N^*都成立的正整数k的最大值．

解答 解：（1）∵等比数列{a_n}的首项为2，且2a₁•a₂=a₃，
∴a₁=2，2×2×2q=2q²，
∵q≠0，
∴q=4，
∴${a}_{n}=2•{4}^{n-1}$=2^2n-1．
（2）∵${a}_{n}={2}^{2n-1}$，${a}_{n+1}={2}^{2n+1}$，且bn=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$，
∴${b}_{n}=\frac{1}{lo{g}_{2}{2}^{2n-1}•lo{g}_{2}{2}^{2n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴{b_n}的前n项和：
T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
∵T_n+1-T_n=$\frac{n+1}{2n+3}-\frac{n}{2n+1}$=$\frac{1}{（2n+3）（2n+1）}$＞0，
∴T_n单调递增，
∴（T_n）_min=T₁=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}＞\frac{k}{2016}$，
∴k＜672，
∴k_max=671．
∴使不等式T_n＞$\frac{k}{2016}$对一切n∈N^*都成立的正整数k的最大值为671．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查使不等式成绩的正整数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．