Question

9．已知定点M（2，0），若过点M的直线l（斜率不为零）与椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1交于不同的两点E，F（E在点M，F之间），记λ=$\frac{{S}_{△OME}}{{S}_{△OMF}}$，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 如图所示，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．（不妨设y₁，y₂＞0）．直线l的方程为：my+2=x．与椭圆方程联立化为：（m²+3）y²+4my+1=0，△＞0，λ=$\frac{{S}_{△OME}}{{S}_{△OMF}}$=$\frac{|ME|}{|MF|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$＜1，利用$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+2+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=λ+2+$\frac{1}{λ}$，进而得出．

解答 解：如图所示，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．（不妨设y₁，y₂＞0）．
直线l的方程为：my+2=x．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my+2=x}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，化为：（m²+3）y²+4my+1=0，
△=16m²-4（m²+3）=12m²-12＞0，解得m＞1或m＜-1．
∴y₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}+3}$，y₁•y₂=$\frac{1}{{m}^{2}+3}$，
设原点O到直线l的距离为d．
∴λ=$\frac{{S}_{△OME}}{{S}_{△OMF}}$=$\frac{\frac{1}{2}d|ME|}{\frac{1}{2}d|MF|}$=$\frac{|ME|}{|MF|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$＜1，
∴$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{（-\frac{4m}{{m}^{2}+3}）^{2}}{\frac{1}{{m}^{2}+3}}$=$\frac{16{m}^{2}}{{m}^{2}+3}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+2+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=λ+2+$\frac{1}{λ}$，
∵$\frac{16{m}^{2}}{{m}^{2}+3}$=$\frac{16}{1+\frac{3}{{m}^{2}}}$∈（4，16），
∴4＜λ+2+$\frac{1}{λ}$＜16，又λ＜1，
解得：$7-4\sqrt{3}$＜λ＜1．
∴λ的取值范围是（$7-4\sqrt{3}$，1）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法与性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．