Question

2．设f（x）=m-$\frac{4}{{3}^{x}+1}$，其中m为常数
（Ⅰ）若f（x）为奇函数，试确定实数m的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）+m＞0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）为R上的奇函数，可得f（0）=0，解得m=2，再由奇函数的定义即可判断；
（Ⅱ）问题转化为m＞$\frac{4}{{3}^{x}+1}$-2，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）若f（x）为奇函数，即有f（0）=0，即m-$\frac{4}{{3}^{0}+1}$=0，解得m=2，
经检验f（-x）=-f（x），m=2符合题意；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=2-$\frac{4}{{3}^{x}+1}$，
若不等式f（x）+m＞0对一切x∈R恒成立，
即m＞$\frac{4}{{3}^{x}+1}$-2，
当x→-∞时，$\frac{4}{{3}^{x}+1}$-2→2，
故m≥2．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题．