Question

11．已知a+4b=ab，a、b均为正数，则使a+b＞m恒成立的m的取值范围是（　　）

• A． m＜9
• B． m≤9
• C． m＜8
• D． m≤8

Answer 1

分析 根据题意，有a+4b=ab变形可得$\frac{1}{b}$+$\frac{4}{a}$=1，则有a+b=（a+b）（$\frac{1}{b}$+$\frac{4}{a}$）=5+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$，由基本不等式的性质可得a+b的最小值；进而由于a+b＞m恒成立分析可得m的范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，若a+4b=ab，则有$\frac{1}{b}$+$\frac{4}{a}$=1，
a+b=（a+b）（$\frac{1}{b}$+$\frac{4}{a}$）=5+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$≥5+2$\sqrt{\frac{a}{b}×\frac{4b}{a}}$=9，
即a+b有最小值9，
若a+b＞m恒成立，必有m＜9，
故选：A．

点评 本题考查基本不等式的性质，关键是将a+4b=ab变形得到$\frac{1}{b}$+$\frac{4}{a}$=1．