Question

9．设直线l的方程为（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）．
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；
（2）y=-（a+1）x+a-2，由于l不经过第二象限，可得$\left\{\begin{array}{l}{-（a+1）≥0}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（3）令x=0，解得y=a-2＜0，解得a范围；令y=0，解得x=$\frac{a-2}{a+1}$＞0，解得a范围．求交集可得：a＜-1．利用S_△AOB=$\frac{1}{2}$[-（a-2）]×$\frac{a-2}{a+1}$，变形利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）若2-a=0，解得a=2，化为3x+y=0．
若a+1=0，解得a=-1，化为y+3=0，舍去．
若a≠-1，2，化为：$\frac{x}{\frac{a-2}{a+1}}$+$\frac{y}{a-2}$=1，令$\frac{a-2}{a+1}$=a-2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．
（2）y=-（a+1）x+a-2，
∵l不经过第二象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-（a+1）≥0}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$，
解得：a≤-1．
∴实数a的取值范围是（-∞，-1]．
（3）令x=0，解得y=a-2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=$\frac{a-2}{a+1}$＞0，解得a＞2或a＜-1．
因此$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{a＞2或a＜-1}\end{array}\right.$，解得a＜-1．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|a-2||$\frac{a-2}{a+1}$|=$\frac{1}{2}$$|a+1+\frac{9}{a+1}-6|$=3+$\frac{1}{2}$$[（-a-1）+\frac{9}{-a-1}]$≥3+$\frac{1}{2}×2\sqrt{（-a-1）×\frac{9}{-a-1}}$=6，当且仅当a=-4时取等号．
∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．

点评 本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．