Question

1．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{1}{4}$，求a_n．

Answer 1

分析 可判断a_n＞0恒成立，从而化简可得$\sqrt{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，从而判断出数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，从而解得．

解答 解：∵a_n+1=a_n+$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{1}{4}$，a₁=1＞0，
∴a_n＞0恒成立，
a_n+1=a_n+$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{1}{4}$=（$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$）²，
即$\sqrt{{a}_{n+1}}$²=（$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$）²，
故$\sqrt{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
故数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
故$\sqrt{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（n+1），
故a_n=$\frac{（n+1）^{2}}{4}$．

点评 本题考查了数列的性质的判断及构造法解数列通项公式的方法应用．