Question

18．已知a＞0，b＞0，$\frac{1}{a}+\frac{8}{b+1}=2$，则2a+b的最小值为8．

Answer 1

分析 根据题意，有2a+b=（2a+b+1）-1，结合$\frac{1}{a}+\frac{8}{b+1}=2$可得2a+b=$\frac{1}{2}$×[2a+（b+1）]（$\frac{1}{a}$+$\frac{8}{b+1}$）-1=$\frac{1}{2}$[10+$\frac{b+1}{a}$+$\frac{16a}{b+1}$]-1，由基本不等式的性质计算即可得答案．

解答 解：根据题意，$\frac{1}{a}+\frac{8}{b+1}=2$，
则2a+b=（2a+b+1）-1=$\frac{1}{2}$×[2a+（b+1）]（$\frac{1}{a}$+$\frac{8}{b+1}$）-1=$\frac{1}{2}$[10+$\frac{b+1}{a}$+$\frac{16a}{b+1}$]-1
≥$\frac{1}{2}$（10+2$\sqrt{\frac{b+1}{a}×\frac{16a}{b+1}}$）-1=9-1=8，
当且仅当4a=b+1时，等号成立；
即2a+b的最小值为8；
故答案为：8．

点评 本题考查基本不等式的性质，关键是掌握并配凑基本不等式使用的形式．