Question

20．设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n+1-1=2S_n，且a₁+a₂=3，a₂-a₁=1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+（-1）ⁿlog₂a_n}的前2n项和．

Answer 1

分析 （1）求得a₁=1，a₂=2，将n换为n-1，相减可得a_n+1=2a_n，由等比数列的通项公式即可得到所求；
（2）求得a_n+（-1）ⁿlog₂a_n=2^n-1+（-1）ⁿ•（n-1），运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式计算即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁+a₂=3，a₂-a₁=1，可得a₁=1，a₂=2，
当n≥2时，S_n+1-1=2S_n，可得S_n-1=2S_n-1，
相减可得a_n+1=2a_n，
由等比数列的通项公式可得，
a_n=a₂q^n-2=2•2^n-2=2^n-1，
上式对n=1也成立．
即有数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1；
（2）a_n+（-1）ⁿlog₂a_n=2^n-1+（-1）ⁿ•（n-1），
前2n项和为$\frac{1-{2}^{2n}}{1-2}$+（0+1）+（-2+3）+（-4+5）+…+（2-2n+2n-1）
=2^2n-1+n．

点评 本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．