Question

15．已知函数f（x）=ax³+x+b是奇函数，且f（x）图象在点（1，f（1））的处的切线过点（2，6），则 a+b=1．

Answer 1

分析 由f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即b=0，求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，切线的方程，代入点（2，6），求得a=1，即可得到所求和．

解答 解：由函数f（x）=ax³+x+b是奇函数，
得f（0）=0，从而b=0，
f（x）=ax³+x的导数f'（x）=3ax²+1，
在（1，f（1））处的切线斜率为3a+1，切点为（1，a+1），
方程为y-（a+1）=（3a+1）（x-1），
由已知切线过点（2，6），
代入可得6-a-1=3a+1，
解得a=1，则a+b=1．
故答案为：1．

点评 本题考查函数的奇偶性的运用：求参数的值，导数的运用：求切线的方程，考查运算能力，属于基础题．