Question

如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x²-14x+mn=0的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接DE， 根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC， 即， 又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB， 因此∠ADE=∠ACB， 所以C，B，D，E四点共圆。 （Ⅱ）解：m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12， 故AD=2，AB=12， 取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线， 两垂线相交于H点，连接DH， 因为C，B，D，E四点共圆， 所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH， 由于∠A=90°， 故GH∥AB，HF∥AC，HF=AG=5，DF=(12-2)=5， 故C，B，D，E四点所在圆的半径为5。