Question

17．某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，一旦某年发放的燃油型汽车牌照数为0万张，以后每一年发放的燃油型的牌照的数量维持在这一年的水平不变．同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．
（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a_n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b_n}，写出这两个数列的通项公式；
（2）从2013年算起，求到2029年（包含2029年）累计各年发放的牌照数．

Answer 1

分析 （1）当1≤n≤20，求出通项公式，当n≥21且n∈N^*，a_n=0求出通项公式，然后求解这两个数列的通项公式；
（2）求出数列的和，推出结果即可．

解答 解：（1）当1≤n≤20且n∈N^*，${a_n}=10+（n-1）×（-0.5）=-\frac{n}{2}+\frac{21}{2}$；
当n≥21且n∈N^*，a_n=0．∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{n}{2}+\frac{21}{2}，1≤n≤20，n∈{N}^{*}}\\{0，n≥21，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$…（3分）
而a₄+b₄=15.25＞15，∴${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2•（{\frac{3}{2}）}^{n-1}，1≤n≤4，n∈{N}^{*}}\\{6.75，n≥5，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$…（6分）
（2）${S_{17}}={a_1}+{a_2}…+{a_{17}}+{b_1}+{b_2}…+{b_{17}}=\frac{10+2}{2}×17+\frac{{2（1-{{（\frac{3}{2}）}^4}）}}{{1-\frac{3}{2}}}+13×6.75=206$（万辆）
所以到2029年（包含2029年）累计各年发放的牌照数为206万辆…（10分）

点评 本题考查数列在函数中的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．