Question

19．（1）已知$\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt{a}}$=3，求$\frac{（{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}+3）}{\root{4}{a}+\frac{1}{\root{4}{a}}}$的值；
（2）计算[（1-log₆3）²+log₆2×log₆18]•log₄6．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{a}+\frac{1}{{\sqrt{a}}}=3$，可得$a+\frac{1}{a}=7$，${a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}$+2=49，进而得出．
（2）利用对数的运算性质即可得出．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a}+\frac{1}{{\sqrt{a}}}=3$，∴$a+\frac{1}{a}=7$，∴${a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}$+2=49，
又${（\root{4}{a}+\frac{1}{{\root{4}{a}}}）^2}=\sqrt{a}+\frac{1}{{\sqrt{a}}}+2=5$，∴$\root{4}{a}+\frac{1}{{\root{4}{a}}}=\sqrt{5}$，
∴$\frac{{（{a^2}+\frac{1}{a^2}+3）}}{{\root{4}{a}+\frac{1}{{\root{4}{a}}}}}=10\sqrt{5}$．
（2）$[{（1-{log_6}3）^2}+{log_6}2•{log_6}18]•{log_4}6$=$[{（{log_6}2）^2}+{log_6}2•（2{log_6}3+{log_6}2）]•{log_4}6$
=log₆2（log₆2+2log₆3+log₆2）×log₄6
=2log₆2•log₄6=log₆4•log₄6=1．

点评 本题考查了指数与对数的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．