Question

3．函数y=ax-lnx在（${\frac{1}{2}$，+∞）内单调递增，则a的取值范围为（　　）

• A． （2，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （-∞，2）
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 首先对y=ax-lnx求导：y'=a-$\frac{1}{x}$；函数y在$（\frac{1}{2}，+∞）$内单调递增，即y'在$（\frac{1}{2}，+∞）$上恒有y'≥0．即：a≥$\frac{1}{x}$在$（\frac{1}{2}，+∞）$上恒成立．

解答 解：首先对y=ax-lnx求导：y'=a-$\frac{1}{x}$，且知y函数的定义域为（0，+∞）；
函数y在$（\frac{1}{2}，+∞）$内单调递增，即y'在$（\frac{1}{2}，+∞）$上恒有y'≥0．
即：a≥$\frac{1}{x}$在$（\frac{1}{2}，+∞）$上恒成立．
因为f（x）=$\frac{1}{x}$在$（\frac{1}{2}，+∞）$上的最大值为f（$\frac{1}{2}$）=2；
所以a的取值范围为a≥2．
故选：B

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调与恒成立问题，以及转化思想的应用，属中等题．