Question

1．已知点P（-1，m）在直线l₁：ax+y+2a=0上，且圆C：x²+y²-8y+12=0关于直线l₁对称．
（1）求a、m的值；
（2）若过点P的直线l₂与圆C相切，求直线l₂的斜率．

Answer 1

分析 （1）由圆C：x²+y²-8y+12=0关于直线l₁对称，则圆心（0，4）在直线l₁，可得a，
由点P（-1，m）在直线l₁ 得m；
（2）可设过点P的直线l₂的方程为：y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0
由过点P的直线l₂与圆C相切，即$\frac{|-4+k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k

解答 解：（1）∵圆C：x²+y²-8y+12=0关于直线l₁对称，
∴圆心（0，4）在直线l₁：ax+y+2a=0上，∴a=-2，
∴直线l₁：-2x+y-4=0，
∵已知点P（-1，m）在直线l₁：-2x+y-4=0上，∴m=2；
（2）由（1）得P（-1，2），
可设过点P的直线l₂的方程为：y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0
∵过点P的直线l₂与圆C相切，∴圆心到直线l₂的距离等于半径，
又圆C：x²+y²-8y+12=0的圆心为（0，4），半径为2
∴$\frac{|-4+k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=0或-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了圆的对称性、圆的切线，属于中档题．