Question

15．已知函数$f（x）=lg（\frac{2a}{1+x}-1）（a＞0）$．求证：函数f（x）为奇函数的充要条件是a=1．

Answer 1

分析 分充分性、必要性进行论证，即可得到结论．

解答 证明：充分性：由a=1，函数f（x）=lg（ $\frac{2}{1+x}$-1）=lg $\frac{1-x}{1+x}$，
∵$\frac{1-x}{1+x}$＞0，∴-1＜x＜1，
又f（x）+f（-x）=lg $\frac{1-x}{1+x}$+lg $\frac{1+x}{1-x}$=lg1=0，
∴当a=1时，函数f（x）为奇函数，
必要性：由函数f（x）为奇函数，即f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）+f（-x）=lg（ $\frac{2a-1-x}{1+x}$）+lg（ $\frac{2a-1+x}{1-x}$）=0，
化简得（2a-1）²=1，
∵a＞0，∴a=1，
∴当函数f（x）为奇函数时，a=1．

点评 本题考查充要性的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．