Question

8．永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x（x≥10）万元之间满足：y=f（x）=ax²+$\frac{101}{50}$x-bln$\frac{x}{10}$，a，b为常数．当x=10万元时，y=19.2万元；当x=30万元时，y=50.5万元．（参考数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求该景点改造升级后旅游利润T（x）的最大值．（利润=旅游增加值-投入）．

Answer 1

分析 （1）根据f（10）=19.2，f（30）=50.5，列方程解出a，b即可；
（2）写出T（x）的解析式，利用导数求出T（x）的单调性，根据单调性得出T（x）的最大值．

解答 解：（1）∵f（10）=19.2，f（30）=50.5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{100a+\frac{101}{5}=19.2}\\{900a+\frac{303}{5}-bln3=50.5}\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{1}{100}$，b=1，
则f（x）=-$\frac{x2}{100}$+$\frac{101}{50}$x-ln$\frac{x}{10}$（x≥10）．
（2）T（x）=f（x）-x=-$\frac{x2}{100}$+$\frac{51}{50}$x-ln$\frac{x}{10}$（x≥10），
则T′（x）=$\frac{-x}{50}$+$\frac{51}{50}$-$\frac{1}{x}$=-$\frac{（x-1）（x-50）}{50x}$，
令T′（x）=0，则x=1（舍）或x=50，
当x∈（10，50）时，T′（x）＞0，当x∈（50，+∞）时，T′（x）＜0，
∴T（x）在（10，50）上是增函数，在（50，+∞）上是减函数，
∴当x=50时，T（x）取最大值T（50）=-25+51-ln5=27.6．

点评 本题考查了函数解析式的求解，导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．