Question

15．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3（n≥2，且n∈N^*）
（Ⅰ） 求证：数列{a_n+3}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）递推式两边同时加3即可得出a_n+1+3=2a_n+6，即$\frac{{a{\;}_{n+1}+3}}{{a{\;}_n+3}}=2$，再验证n=1时成立即可得出结论；
（II）根据等比数列的通项公式得出a_n+3，从而得出a_n；
（III）使用分组求和即可得出S_n．

解答 解：（I）∵a_n+1=2a_n+3（n≥2，且n∈N^*），
∴a_n+1+3=2a_n+6=2（a_n+3），
∴$\frac{{a{\;}_{n+1}+3}}{{a{\;}_n+3}}=2$（n≥2，且n∈N^*）
又a₁=1，∴a₂=2a₁+3=5，
∴$\frac{{a}_{2}+3}{{a}_{1}+3}=2$，
所以{a_n+3}是首项为4，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）∵{a_n+3}是首项为4，公比为2的等比数列，
所以a_n+3=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-3．
（Ⅲ）∵a_n=2ⁿ⁺¹-3，
∴${s_n}={a_1}+{a_2}+…+{a_n}=（{2^2}-3）+（{2^3}-3）+…+（{2^{n+1}}-3）$
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-3n=2ⁿ⁺²-3n-4．

点评 本题考查了等比数列的判断，等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题．