Question

20．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，asinB=bcos$\frac{A}{2}$，a=2，D为边BC的中点，过D向直线AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．
（1）求A；
（2）求DE+2DF的最大值．

Answer 1

分析 （1）结合正弦定理即可得出sinA=cos$\frac{A}{2}$，从而解出A；
（2）根据三角函数的定义用B表示出DE，DF，利用三角函数的恒等变换化简得出最值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵asinB=bcos$\frac{A}{2}$，∴$\frac{a}{b}=\frac{cos\frac{A}{2}}{sinB}$，又由正弦定理得$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}$，
∴cos$\frac{A}{2}$=sinA=2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$，解得sin$\frac{A}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴0＜$\frac{A}{2}$＜$\frac{π}{2}$．
∴$\frac{A}{2}=\frac{π}{6}$，A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵D是BC的中点，∴BD=CD=$\frac{1}{2}BC$=1．
∴DE=BDsinB=sinB，DF=CDsinC=sinC=sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB．
∴DE+2DF=2sinB+$\sqrt{3}$cosB=$\sqrt{7}$sin（B+φ）．tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，φ＞0．
∴当B+φ=$\frac{π}{2}$时，DE+2DF取得最大值$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．