Question

5．已知实数x₁，x₂，x₃，x₄，x₅满足0＜x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅
（1）求证不等式x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²＞x₁x₂+x₂x₃+x₃x₄+x₄x₅+x₅x₁
（2）随机变量X取值$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{x_2}+{x_3}}}{2}，\frac{{{x_3}+{x_4}}}{2}，\frac{{{x_4}+{x_5}}}{2}，\frac{{{x_5}+{x_1}}}{2}$的概率均为$\frac{1}{5}$，随机变量Y取值$\frac{{{x_1}+2{x_2}}}{3}，\frac{{{x_2}+2{x_3}}}{3}，\frac{{{x_3}+2{x_4}}}{3}，\frac{{{x_4}+2{x_5}}}{3}，\frac{{{x_5}+2{x_1}}}{3}$的概率也均为$\frac{1}{5}$，比较DX与DY大小关系．

Answer 1

分析 （1）0＜x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，利用基本不等式的性质可得${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$＞2x₁x₂，${{x}_{2}}^{2}$+${{x}_{3}}^{2}$＞2x₂x₃，…，${{x}_{5}}^{2}$+${{x}_{1}}^{2}$＞2x₅x₁，相加即可得出．
（2）设$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（x₁+x₂+…+x₅）．利用数学期望计算公式可得EX，EY．再利用方差计算公式可得DX，DY．作差即可比较出大小关系．

解答 （1）证明：∵0＜x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，
∴${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$＞2x₁x₂，
${{x}_{2}}^{2}$+${{x}_{3}}^{2}$＞2x₂x₃，
${{x}_{3}}^{2}$+${{x}_{4}}^{2}$＞2x₃x₄，
${{x}_{4}}^{2}$+${{x}_{5}}^{2}$＞2x₄x₅，
${{x}_{5}}^{2}$+${{x}_{1}}^{2}$＞2x₅x₁，
∴2（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$+${{x}_{3}}^{2}$+${{x}_{4}}^{2}$+${{x}_{5}}^{2}$）＞2x₁x₂+2x₂x₃+2x₃x₄+2x₄x₅+2x₅x₁，
∴x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²＞x₁x₂+x₂x₃+x₃x₄+x₄x₅+x₅x₁；
（2）解：设$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（x₁+x₂+…+x₅）．
EX=$\frac{1}{5}$$[\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$+$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$+$\frac{{x}_{4}+{x}_{5}}{2}$+$\frac{{x}_{5}+{x}_{1}}{2}]$=$\frac{1}{5}$（x₁+x₂+…+x₅）=$\overline{x}$．
EY=$\frac{1}{5}（\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}+\frac{{x}_{2}+2{x}_{3}}{3}$+…+$\frac{{x}_{5}+2{x}_{1}}{3}）$=$\frac{1}{5}$（x₁+x₂+…+x₅）=$\overline{x}$．
DX=$\frac{1}{5}$$[（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}-\overline{x}）^{2}+（\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}-\overline{x}）^{2}$+…+$（\frac{{x}_{5}+{x}_{1}}{2}-\overline{x}）^{2}]$，
DY=$\frac{1}{5}$$[（\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}-\overline{x}）^{2}$+$（\frac{{x}_{2}+2{x}_{3}}{3}-\overline{x}）^{2}$+…+$（\frac{{x}_{5}+2{x}_{1}}{3}-\overline{x}）^{2}]$，
又∵实数x₁，x₂，x₃，x₄，x₅满足0＜x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，
∴DX-DY=$\frac{1}{5}[\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{6}•（\frac{5{x}_{1}+7{x}_{2}}{6}-2\overline{x}）$+$\frac{{x}_{2}-{x}_{3}}{6}•（\frac{5{x}_{2}+7{x}_{3}}{6}-2\overline{x}）$+…+$\frac{{x}_{5}-{x}_{1}}{6}•（\frac{5{x}_{5}+7{x}_{1}}{6}-2\overline{x}）]$
=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{36}$×[（x₁-x₂）（5x₁+7x₂）+（x₂-x₃）（5x₂+7x₃）+…+（x₅-x₁）（5x₅+7x₁）]
=$\frac{1}{90}$×（x₁x₂+x₂x₃+…+x₅x₁-${x}_{1}^{2}$-…-${x}_{5}^{2}）$
=-$\frac{1}{180}×$$[（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$+…+$（{x}_{5}-{x}_{1}）^{2}]$＜0，
∴DX＜DY．

点评 本题考查了基本不等式的性质、期望与方差的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．