Question

2．将直线y=7x绕着原点逆时针旋转$\frac{π}{4}$后所得的直线过点A（cosθ，sinθ）
（1）求sinθ，cosθ以及tanθ的值；
（2）若点A位于第二象限，记函数f（x）=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$sinθcosx+$\frac{10}{3}$cosθsinx，试用五点作图法绘制函数f（x）在[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$]上的图象．

Answer 1

分析 （1）根据直线方程求出直线的斜率和倾斜角的正切值，利用两角和差的正切公式结合同角的三角函数的关系进行求解即可，
（2）根据（1）的结论，结合辅助角公式化简f（x），利用五点法进行作图即可．

解答 解：（1）直线y=7x的斜率为7，设倾斜角为α，则tanα=7，α为第一象限角，
将直线y=7x绕着原点逆时针旋转$\frac{π}{4}$后对应直线的倾斜角为α+$\frac{π}{4}$，
则斜率tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα+tan\frac{π}{4}}{1-tanαtan\frac{π}{4}}$=$\frac{7+1}{1-7×1}$=$\frac{8}{-6}$=-$\frac{4}{3}$，
∵旋转$\frac{π}{4}$后所得的直线过点A（cosθ，sinθ）
∴tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{sinθ}{cosθ}$=tanθ=-$\frac{4}{3}$，
∵tanθ=tan（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{3}$＜0，
∴θ为第二象限角，或第四象限，
若θ为第二象限角，则sinθ＞0，cosθ＜0，
由$\left\{\begin{array}{l}{tanθ=-\frac{4}{3}}\\{sin^2θ+cos^2θ=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{4}{5}}\\{cosθ=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
即sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=-$\frac{3}{5}$，tanθ=-$\frac{4}{3}$；
若θ为第四象限角，则sinθ＜0，cosθ＞0，
由$\left\{\begin{array}{l}{tanθ=-\frac{4}{3}}\\{sin^2θ+cos^2θ=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=-\frac{4}{5}}\\{cosθ=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
即sinθ=-$\frac{4}{5}$，cosθ=$\frac{3}{5}$，tanθ=-$\frac{4}{3}$；
（2）若点A位于第二象限，由（1）知sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=-$\frac{3}{5}$，
∴f（x）=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$sinθcosx+$\frac{10}{3}$cosθsinx=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$cosx-$\frac{3}{5}$×$\frac{10}{3}$sinx
=2$\sqrt{3}$cosx-2sinx=4cos（x+$\frac{π}{6}$），
（2）用五点作图法作出f（x）的简图．
当x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$]，则x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{2}$]
列表：

x+$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{5π}{2}$
x	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{11π}{6}$	$\frac{7π}{3}$
4cos（x+$\frac{π}{6}$）	0	-4	0	4	0

函数的在区间[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的图象如下图所示：

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握五点作图法．