题目内容
14．设直线l与曲线C1：y=ex和曲线C2：y=-$\frac{1}{{e}^{x}}$均相切，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-e2．分析 对C1：y=ex和曲线C2：y=-$\frac{1}{{e}^{x}}$求导可得：y′=ex，y′=$\frac{1}{{e}^{x}}$．由题意可得${e}^{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$．另一方面：$\frac{-\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}-{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=${e}^{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$．可得：x1=x2+2．即可得出．
解答 解：对C1：y=ex和曲线C2：y=-$\frac{1}{{e}^{x}}$求导．
y′=ex，y′=$\frac{1}{{e}^{x}}$．
∴${e}^{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$．
另一方面：$\frac{-\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}-{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=${e}^{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$．
可得：x1=x2+2．
又${y}_{1}={e}^{{x}_{1}}$，${y}_{2}=-\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$．
∴y1y2=${e}^{{x}_{1}}×（-\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}）$=-${e}^{{x}_{2}+2}$$•\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$=-e2．
故答案为：-e2．
点评 本题考查了利用导数求切线的斜率、方程思想方法、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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4．下列函数中，既是偶函数又在区间（2，+∞）上单调递减的是（ ）
| A． | $y=\frac{1}{x}$ | B． | y=lg|x| | C． | y=-x2+1 | D． | y=e-x |
如图：已知△ABC，AC=15，M在AB边上，且CM=3$\sqrt{13}$，cos∠ACM=$\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$，sinα=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，（α为锐角），则△ABC的面积为225．