Question

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，
∴sinB=cosB，即tanB=1，
∵B为三角形的内角，
∴B=

π

4

；
（Ⅱ）S_△ABC=

1

2

acsinB=

2

4

ac，
由已知及余弦定理得：4=a²+c²-2accos

π

4

≥2ac-2ac×

2

2

，
整理得：ac≤

4

2- 2

，当且仅当a=c时，等号成立，
则△ABC面积的最大值为

1

2

×

2

2

×

4

2- 2

=

1

2

×

2

×（2+

2

）=

2

+1．