Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB-bcosA=

3

5

c．
（Ⅰ）求

tanA

tanB

的值；
（Ⅱ）求tan（A-B）的最大值．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，
（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中acosB-bcosA=

3

5

c，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求

tanA

tanB

的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A-B）可化为

3

cotB+4tanB

，再结合基本不等式即可得到tan（A-B）的最大值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，acosB-bcosA=

3

5

c，
由正弦定理得
sinAcosB-sinBcosA=

3

5

sinC=

3

5

sin(A+B)=

3

5

sinAcosB+

3

5

cosAsinB
即sinAcosB=4cosAsinB，
则

tanA

tanB

=4；
（Ⅱ）由

tanA

tanB

=4得
tanA=4tanB＞0
tan(A-B)=

tanA-tanB

1+tanAtanB

=

3tanB

1+4tan2B

=

3

cotB+4tanB

≤

3

2 cotB•4tanB

=

3

4

当且仅当4tanB=cotB，tanB=

1

2

，tanA=2时，等号成立，
故当tanA=2，tanB=

1

2

时，
tan（A-B）的最大值为

3

4

．

点评：在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．