Question

19．若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M（2，2）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k₁，k₂，当k₁，k₂变化且满足k₁+k₂=-1时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线方程为y²=ax，代入M（2，2），可得a=2，即可求抛物线C的方程；
（2）由题意可知直线AB的斜率存在且不为零，可设AB的方程为x=my+b，和（1）中求得轨迹联立后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和，结合k₁+k₂=-1求得直线方程，由线系方程得答案．

解答 解：（1）设抛物线方程为y²=ax，代入M（2，2），可得a=2，
∴抛物线C的方程为y²=2x；
（2）由题意可知直线AB的斜率存在且不为零，可设AB的方程为x=my+b，
并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立直线与抛物线可得y²-2my-2b=0，
从而有y₁+y₂=2m  ①，y₁y₂=-2b  ②，
又k₁+k₂=-1，即$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-2}$=-1，
∴$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}-2}$+$\frac{{y}_{2}-2}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}-2}$=-1
∴-（y₁+2）（y₂+2）=2（y₁+y₂+4），
展开即得y₁y₂+4（y₁+y₂）+12=0，
将①②代入得b=4m+6，
得AB：x=my+4m+6．
故直线AB经过定点（6，-4）

点评 本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了学生的计算能力，是中档题．