Question

19．在数列{a_n}中，前n项和为S_n，且S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在m，n∈N^*，使得T_n=a_m，若存在，求出所有满足题意的m，n，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由已知：T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n，即可得出结论．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n
经验证，a₁=1满足上式，故数列{a_n}的通项公式a_n=n；…（6分）
（2）由题意，易得T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
所以T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$…（10分）
由于T_n＜2，又2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$=m，∴m=1，解得n=2．…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，考查错位相减法的合理运用，属于中档题．