Question

5．△ABC为钝角三角形，三边长分别为3，4，x，则x的取值范围是（　　）

• A． （5，7）
• B． （1，$\sqrt{7}$）
• C． （1，$\sqrt{7}$）∪（5，7）
• D． （$\sqrt{7}$，5）

Answer 1

分析 根据题意分两种情况，分别由边角关系判断出最大角，根据三角形三边关系和余弦定理列出不等式组，求出x的取值范围．

解答 解：∵△ABC为钝角三角形，三边长分别为3，4，x，
∴当4是最大边时，4所对的角是钝角，即此角的余弦值小于零，
则$\left\{\begin{array}{l}{4＜x+3}\\{{3}^{2}+{x}^{2}＜{4}^{2}}\end{array}\right.$，解得1＜x＜$\sqrt{7}$，
当x是最大边时，x所对的角是钝角，即此角的余弦值小于零，
则$\left\{\begin{array}{l}{x＜4+3}\\{{3}^{2}+{4}^{2}＜{x}^{2}}\end{array}\right.$，解得5＜x＜7，
综上可得，x的取值范围是（1，$\sqrt{7}$）∪（5，7），
故选：C．

点评 本题考查余弦定理的灵活应用，边角关系，以及分类讨论思想，属于中档题．