Question

4．设函数f（x）=e^xsinπx，则方程xf（x）=f'（x）在区间（-2014，2016）上的所有实根之和为（　　）

• A． 2015
• B． 4030
• C． 2016
• D． 4032

Answer 1

分析 利用函数的导数，转化方程的根为个函数的图象的交点，利用对称性求解即可．

解答 解：由f'（x）=e^x（sinπx+πcosπx）及xf（x）=f'（x）
得xe^xxinπx=e^x（sinπx+πcosπx）⇒（x-1）sinπx=πcosπx，
由此方程易知sinπx≠0，cosπx≠0，则有$tanπx=\frac{π}{x-1}$，
由于y=tanπx与$y=\frac{π}{x-1}$的图象均关于点（1，0）对称，
则在区间（-2014，2016）上的所有实根之和为2015×2=4030，
故选：B．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的零点个数以及求和，对称性的应用，考查计算能力．