Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2alnx+（a-2）x，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入函数解析式，求导，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性即可；
（2）假设0＜x₁＜x₂，则f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）-ax，只要使函数g（x）在定义域内为增函数即可，利用其导函数恒大于等于0可求解a的取值范围．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2lnx-x，（x＞0），
f′（x）=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；
（2）假设存在实数a使得对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜a恒成立，
不妨设0＜x₁＜x₂，则f（x₂）-ax₂＜f（x₁）-ax₁恒成立．
令g（x）=f（x）-ax，只要g（x）在（0，+∞）为减函数．
又函数g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2alnx-2x，（x＞0），
g′（x）=$\frac{{ax}^{2}-2x+2a}{x}$，
令h（x）=ax²-2x+2a，只需h（x）≤0在（0，+∞）恒成立即可，
a=0时，显然成立，
a≠0时，只需$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{h（0）≤0}\\{-\frac{-2}{2a}＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，
解得：a＜0，
综上，a≤0．

点评 本题考查了利用导数判断函数的单调性，求函数的最值，考查了数学转化思想方法，考查二次函数的性质以及不等式恒成立问题．