Question

18．设函数f（x）=e^x-ax-1．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线平行于x轴，求a和f（x）在[0，2]上的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a＞0时，设函数f（x）的最小值为g（a），求证g（a）≤0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（0）=0，求出a的值，从而求出f（x）在[0，2]的单调性，求出闭区间上的最小值即可；
（Ⅱ）求函数的导数，利用导数和单调性之间的关系进行求解即可；
（Ⅲ）求出f（x）的最小值即g（a），根据函数的单调性判断即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-ax-1，
∴f′（x）=e^x-a，
若函数f（x）的图象在x=0处的切线平行于x轴，
∴f′（0）=1-a=0，得a=1，
当 a=1时，f（x）=e^x-x-1，
f′（x）=e^x-1≥0，x∈[0，2]，
∴f（x）在[0，2]递增，
∴f（x）_最小值=f（0）=-1；
（Ⅱ）∵f（x）=e^x-ax-1在R上单调递增，
∴f′（x）≥0恒成立，
即f′（x）=e^x-a≥0恒成立，
即a≤e^x，
∵e^x＞0，∴a≤0，
故实数a的取值范围是（-∞，0]；
（Ⅲ）证明：a＞0，由f′（x）=e^x-a＜0，得x＜lna，
由f′（x）=e^x-a＞0，得x＞lna，
∴当x=lna时，f（x）_min=f（lna）=a-alna-1，
即g（a）=a-alna-1，
则g′（a）=-lna，
由-lna=0，得a=1，
∴g（a）≤g（1）=0，
∴g（a）≤0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．