Question

13．已知f（x）=ax²-2x+2，a∈R
（1）已知h（10^x）=f（x）+x+1，求h（x）的解析式；
（2）若f（x）＞0在x∈[1，2]恒成立，求a的取值范围；
（3）设函数F（x）=|f（x）|，若对任意x₁，x₂∈[1，2]，且x₁≠x₂，满足$\frac{{F（{x_1}）-F（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令10^x=t，得：x=lgt，从而求出h（x）的解析式即可；
（2）分离此时a，得到$a＞-{（\frac{1}{x}）^2}+\frac{2}{x}，x∈[1，2]$恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可；
（3）通过讨论a的范围求出F（x）的单调性，从而进一步确定a的范围即可．

解答 解：（1）令10^x=t即x=lgt，由h（10^x）=ax²-x+3得h（t）=alg²t-lgt+3
即h（x）=alg²x-lgx+3
（2）由题意得：ax²-2x+2＞0即$a＞-{（\frac{1}{x}）^2}+\frac{2}{x}，x∈[1，2]$恒成立，
$-{（\frac{1}{x}）^2}+\frac{2}{x}=-2{（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{2}$，当x=2时${[-{（\frac{1}{x}）^2}+\frac{2}{x}]_{max}}=\frac{1}{2}$，
所以a得取值范围为$a＞\frac{1}{2}$
（3）由题意得F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]单调递增，
①当a＜0时，f（x）=ax²-2x+2，对称轴为$x=\frac{1}{a}＜0$
又因为f（0）＞0且f（x）在x∈[1，2]单调递减，且f（1）=a＜0，
所以F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]单调递增．
②当a=0时，f（x）=-2x+2，f（x）在x∈[1，2]单调递减，且f（1）=0，
所以F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]单调递增；
③当$0＜a≤\frac{1}{2}$时，f（x）=ax²-2x+2，对称轴为$x=\frac{1}{a}∈[2，+∞）$，
所以f（x）在x∈[1，2]单调递减，
要使F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]单调递增．f（1）=a＜0不符合，舍去；
④当$\frac{1}{2}＜a＜1$时，f（x）=ax²-2x+2，对称轴为$x=\frac{1}{a}∈（1，2）$，
可知F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]不单调．
⑤当a≥1时，f（x）=ax²-2x+2，对称轴为$x=\frac{1}{a}∈（0，1]$
所以f（x）在x∈[1，2]单调递增，f（1）=a＞0
要使F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]单调递增．故a≥1；
综上所述，a的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．