题目内容
18．
如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=3（1）求AC1与B1C所成角的余弦值
（2）求二面角A1-BC-A的正弦值．
分析 （1）以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC1与B1C所成角的余弦值．
（2）求出平面A1BC的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A1-BC-A的正弦值．
解答 解：（1）以C为原点，CB为x轴，
CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，3，0），C1（0，0，3），B1（4，0，3），C（0，0，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，-3，3），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-4，0，-3），
设AC1与B1C所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}|}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=$\frac{9}{3\sqrt{2}•5}$=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．
∴AC1与B1C所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．
（2）A1（0，3，3），B（4，0，0），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（0，3，3），$\overrightarrow{CB}$=（4，0，0），
设平面A1BC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=3y+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=4x=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角A1-BC-A的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴sin$θ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角A1-BC-A的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
如图，在六面体中ABCD-A1B1C1D1，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1=2．
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=$\sqrt{2}$．