Question

13．若a=${∫}_{0}^{2}$（1-3x²）dx+4，且（x+$\frac{1}{ax}$）ⁿ的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为（　　）

• A． -$\frac{1}{64}$
• B． $\frac{1}{32}$
• C． $\frac{1}{64}$
• D． $\frac{1}{128}$

Answer 1

分析 由定积分的运算，求得a的值，根据二项式式的展开，由${C}_{n}^{2}$=15，求得n的值，令x=1时展开式中所有项系数之和．

解答 解：由${∫}_{0}^{2}$（1-3x²）dx=（x-x³）${丨}_{0}^{2}$=2-8=-6，
∴a=${∫}_{0}^{2}$（1-3x²）dx+4=-6+4=-2，
∴（x+$\frac{1}{ax}$）ⁿ=（x-$\frac{1}{2x}$）ⁿ，
由（x-$\frac{1}{2x}$）ⁿ展开式中第3项的二项式系数是15，
∴${C}_{n}^{2}$=15，
∴n=6，
令x=1时展开式中所有项系数之和（1-$\frac{1}{2}$）⁶=$\frac{1}{64}$，
故答案选：C．

点评 本题主要考查定积分的计算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．