Question

已知函数，实数a∈R且a≠0。
（1）设mn＞0，令F（x）=af（x），讨论函数F（x）在[m，n]上单调性；
（2）设0＜m＜n且a＞0时， f(x)的定义域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值；
（3）若不等式|a²f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求a的范围。

Answer 1

解：（1）任取，且，
则，
当a＞0时，，F(x)在[m，n]上单调递增；
当a＜0时，，F(x)在[m，n]上单调递减。
（2）由（1）知，函数af（x）在[m，n]上单调递增，
因为a＞0，所以，f（x）在[m，n]上单调递增，
又f(x)的定义域和值域都是[m，n]，
∴f（m）=m，f（n）=n，
即m，n是方程=x的两个不等的正根，
等价于方程有两个不等的正根，
等价于且，，
则a＞，
∴n-m=，
∴a=时，n-m最大，最大值为。
（3），
则不等式对x≥1恒成立，
即，
则不等式对x≥1恒成立，
令h(x)=，易证h(x)在[1，+∞)递增；
同理在[1，+∞)递减，
∴，
∴，解得：，
∴a的取值范围是[，1]。