Question

已知f（a）=

∫

1 0

[2a²-（lna）x³]dx（a＞0），求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的综合应用

分析：首先利用定积分求出f（a），然后求导，进一步求最小值．

解答： 解：f（a）=

∫

1 0

[2a²-（lna）x³]dx=[2a²x-

1

4

（lna）x⁴]|

1 0

=2a²-

1

4

lna，
f′（a）=4a-

1

4a

，令f′（a）=0，则a=

1

4

，
a∈（0，

1

4

）时，f′（a）＜0，f（a）为减函数；
a∈（

1

4

，+∞）时，f′（a）＞0，f（a）为增函数．
所以f（x）的最小值为f（

1

4

）=2×

1

16

-

1

4

ln

1

4

=

1

8

+

1

2

ln2．

点评：本题考查了定积分的计算以及利用导数求函数的最小值，属于中档题．