Question

13．棱长为1的正四面体ABCD中，E为棱AB上一点（不含A，B两点），点E到平面ACD和平面BCD的距离分别为a，b，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\frac{{7\sqrt{6}}}{3}$
• D． $2\sqrt{6}$

Answer 1

分析 连结CE，DE，利用V_A-BCD=V_E-BCD+V_E-ACD推出$\frac{{\sqrt{6}}}{3}=a+b$，利用基本不等式求解表达式的最值．

解答 解：连结CE，DE，由正四面体棱长为1，O为底面三角形BCD的中心，正四角椎的高为：$OA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
由于V_A-BCD=V_E-BCD+V_E-ACD，有$\frac{{\sqrt{6}}}{3}=a+b$，由$a+b≥2\sqrt{ab}$可得$\frac{1}{ab}≥\frac{4}{{{{（a+b）}^2}}}=6$，
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}•\frac{1}{ab}≥2\sqrt{6}$．
故选：D．

点评 本题考查空间几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．