Question

16．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{{1-{a^2}}}$=1（a＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，若存在k，使直线y=k（x-1）与双曲线的右支交于P，Q两点，且△PF₁Q的周长为8，则双曲线的斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）
• B． （$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）
• C． （0，$\frac{π}{6}$）
• D． （0，$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 根据直线和双曲线的位置关系，结合双曲线的定义建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：直线y=k（x-1）经过双曲线的右焦点，∴△PF₁Q的周长为4a+2|PQ|，
∵$|{PQ}|＞\frac{{2（1-{a^2}）}}{a}$，∴$4a+2|{PQ}|＞4a+\frac{{4（1-{a^2}）}}{a}=\frac{4}{a}$，即：$\frac{4}{a}＜8$，
又$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ 1-{a^2}＞0\end{array}\right.$解得0＜a＜1，∴$\frac{1}{2}＜a＜1$，
双曲线的斜率为正的渐近线的方程为：$y=\frac{{\sqrt{1-{a^2}}}}{a}x$，
∵$\frac{1}{2}＜a＜1∴\frac{{\sqrt{1-{a^2}}}}{a}=\sqrt{\frac{{1-{a^2}}}{a^2}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}-1}∈（0，\sqrt{3}）$，
从而，此渐近线的倾斜角的取值范围为$（0，\frac{π}{3}）$．
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线性质的应用，根据直线和双曲线的位置关系建立不等式关系是解决本题的关键．