Question

设等比数列z₁，z₂，z₃，…，z_n，其中z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai（a，b∈R，a＞0）．
（1）求a，b的值．（2）求使z₁+z₂+…+z_n=0的最小正整数n的值．（参考数据：

1

4

-

3

i）

Answer 1

分析：（1）先根据等比数列的性质得到z₂²=z₁•z₃，然后将z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai代入整理，得到a，b的值．
（2）根据（1）中q=

3

2

+

1

2

i，然后表示出数列的前n项和使其等于0进行求解即可．

解答：解：（1）由z₂²=z₁•z₃，得（a+bi）²=1×（b+ai），a²-b²+2abi=b+ai，
∴

a2-b2=b 2ab=a

，又a＞0，得b=

1

2

，于是a=

3

2

．
∴a=

3

2

，b=

1

2

．
（2）由（1）得q=

3

2

+

1

2

i，而z₁+z₂+…+z_n=0，
∴q=

z2

z1

=

3

2

+

1

2

i
sn=

1×[1-( 3 +i 2 )n]

1-( 3 2 + 1 2 i)

=0∴(

3 +i

2

)n=1∴(-i)n•(

-1+ 3 i

2

)n=1
又(

-1+ 3 i

2

)3=1，且（-i）⁴=1，∴n_min=12．

点评：本题主要考查等比数列的基本性质．考查运算能力、综合解题能力．