Question

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA+cos（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，b+c=4，则△ABC周长的取值范围是（　　）

• A． [6，8）
• B． [6，8]
• C． [4，6）
• D． （4，6]

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，结合A的范围可求A，再由余弦定理求得a²=16-3bc，再由基本不等式，求得bc的范围，即可得到a的范围，进而可求周长的范围．

解答 解：∵sinA+cos（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA-$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得：sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵A∈（0，π），A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
∴A+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，解得A=$\frac{π}{3}$，
∵b+c=4，
∴由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-bc=16-3bc，
∵由b+c=4，b+c≥2$\sqrt{bc}$，得0＜bc≤4，
∴4≤a²＜16，即2≤a＜4．
∴△ABC周长L=a+b+c=a+4∈[6，8）．
故选：A．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理及运用，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．