Question

5．已知椭圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosβ}\\{y=2sinβ}\end{array}\right.$（β为参数），P为椭圆上一点，则点P与定点A（1，0）之间距离的最小值是$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 点P与定点A（1，0）之间距离d=$\sqrt{（3cosβ-1）^{2}+（2sinβ）^{2}}$=$\sqrt{5（cosβ-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{16}{5}}$，即可得出．

解答 解：点P与定点A（1，0）之间距离d=$\sqrt{（3cosβ-1）^{2}+（2sinβ）^{2}}$=$\sqrt{5co{s}^{2}β-6cosβ+5}$=$\sqrt{5（cosβ-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{16}{5}}$≥$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，当且仅当$cosβ=\frac{3}{5}$，sin$β=±\frac{4}{5}$时取等号．
∴点P与定点A（1，0）之间距离的最小值是$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了三角函数求值、椭圆的参数方程应用、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．