Question

16．如图，已知点A（-3，0），B（3，0），M是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是两个正方形的外接圆，它们交于点M，N．
（1）证明：直线MN恒过一定点S，并求S的坐标；
（2）过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，求|AH|•|AG|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，写出⊙P与⊙Q的方程，利用两圆的方程作差，得出公共弦MN所在的直线方程，从而求出直线MN恒过的定点S；
（2）过点Q作QT⊥GH于T，根据垂径定理与切割线定理，即可求出|AH|•|AG|的取值范围．

解答 解：（1）设点M（m，0），其中m∈（-3，3），
则C（m，m+3），F（m，3-m），P（$\frac{m-3}{2}$，$\frac{m+3}{2}$），Q（$\frac{3+m}{2}$，$\frac{3-m}{2}$）；
易知⊙P的方程为：${（x-\frac{m-3}{2}）}^{2}$+${（y-\frac{m+3}{2}）}^{2}$=$\frac{{（m+3）}^{2}}{2}$，
即x²+y²-（m-3）x-（m+3）y-3m=0；①
⊙Q的方程为：${（x-\frac{3+m}{2}）}^{2}$+${（y-\frac{3-m}{2}）}^{2}$=$\frac{{（3-m）}^{2}}{2}$，
即x²+y²-（3+m）x-（3-m）y+3m=0；②
①-②得，公共弦MN所在的直线方程为6x-2my-6m=0，
整理得3x-m（3+y）=0，所以MN恒过定点S（0，-3）；
（2）过点Q作QT⊥GH于T，则|TH|=|TG|，
从而|AH|•|AG|=（|AT|-|TH|）•（|AT|+|TG|）=|AT|²-|TH|²
=（|AQ|²-|QT|²）-（|HQ|²-|QT|²）=|AQ|²-|HQ|²
=${（\frac{3+m}{2}+3）}^{2}$+${（\frac{3-m}{2}）}^{2}$-$\frac{{（3-m）}^{2}}{2}$
=6m+18；
由于m∈（-3，3），|AH|•|AG|∈（0，36），
即|AH|•|AG|的取值范围是（0，36）．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了直线恒过的定点的应用问题以及垂径定理与切割线定理的应用问题，是综合性题目．