Question

18．已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{OC}$，则λ=-$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 分别用$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{CP}$，根据平面向量的基本定理可知$\overrightarrow{AP}=a\overrightarrow{BP}+b\overrightarrow{CP}$，列出方程组解出λ．

解答 解：$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{OB}$+（λ-1）$\overrightarrow{OC}$，
∵P，A，B，C四点共面，∴存在m，n∈R使得$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{BP}+n\overrightarrow{CP}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+2n=1}\\{\frac{m}{3}+\frac{4n}{3}=\frac{4}{3}}\\{mλ+n（λ-1）=λ}\end{array}\right.$，解得m=-$\frac{2}{3}$，n=$\frac{7}{6}$，λ=-$\frac{7}{3}$．
故答案为-$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的基本道理及线性运算，列出方程组是解题关键．