Question

设实系数一元二次方程x²+ax+2b-2=0有两个相异实根，其中一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则

b-4

a-1

的取值范围是（　　）

• A、[-

  1

  7

  ，0）
• B、（

  1

  2

  ，

  3

  2

  ）
• C、（-∞，-

  1

  7

  ）
• D、（1，

  3

  2

  ）

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：设f（x）=x²+ax+2b-2，由题意可得

f(0)=2b-2＞0 f(1)=a+2b-1＜0 f(2)=2a+2b+2＞0

，画出满足条件的点（a，b）构成的可行域，而

b-4

a-1

表示可行域内的点（a b）与点M（1，4）连线的斜率，数形结合求得

b-4

a-1

的范围．

解答：解：设f（x）=x²+ax+2b-2，由题意可得

f(0)=2b-2＞0 f(1)=a+2b-1＜0 f(2)=2a+2b+2＞0

，故满足条件的点（a，b）构成的可行域即

b＞1 a+2b＜1 a+b＞-1

．
而

b-4

a-1

表示可行域内的点（a b）与点M（1，4）连线的斜率，如图所示：
求得A（-1，-1）、B（-2，1）、C（-3，2），
则

b-4

a-1

的最小值趋于MC直线的斜率

4-2

1+3

=

1

2

，即

b-4

a-1

的最大值趋于MA直线的斜率

4-1

1+1

=

3

2

，
故则

b-4

a-1

的范围是 （

1

2

，

3

2

），
故选：B．

点评：本题主要考查简单的线性规划问题，直线的斜率公式，一元二次方程根的分布与系数的关系，属于基础题．