Question

已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限内.

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；

（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

 

 

Answer 1

（1）；（2）见解析；（3）存在，，理由祥见解析．

【解析】

试题分析：（1）由已知首先得到，再由离心率为２可求得的值，最后利用双曲线中基本量的关系求出值，从而就可写出所求双曲线的标准方程；（2）设直线的方程为：，与双曲线方程联立，消去得到关于的一个一元二次方程；再设，则由韦达定理就可用的式子表示出，再用点Ｐ，Ｑ的坐标表示出直线ＡＰ及ＡＱ的方程，再令就可写出点Ｍ，Ｎ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再计算得，即证明得；（3）先取直线的斜率不存在的特列情形，研究出对应的的值，然后再对斜率存在的情形给予一般性的证明：不难获得，从而假设存在使得恒成立，然后证明即可．

试题解析：（1）由题可知： 1分

2分

∴双曲线C的方程为： 3分

（2）设直线的方程为：，另设：

4分

5分

又直线AP的方程为，代入 6分

同理，直线AQ的方程为，代入 7分

9分

（3）当直线的方程为时，解得. 易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：. 10分

下证：对直线存在斜率的情形也成立.

11分

12分

13分

∴结合正切函数在上的图像可知， 14分

考点：1．双曲线的标准方程；2．直线与双曲线的位置关系；３．探索性问题．