Question

14．已知函数f（x）=ax-$\frac{1}{x}$-（a+1）lnx，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a≥1时，若f（x）＞1在区间[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出f（x）的定义域，再求导，根据a的范围得到函数的单调区间；
（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的最值，再由f（x）＞1在区间[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ） 函数f（x） 的定义域为{x|x＞0}，$f'（x）=\frac{{a{x^2}-（a+1）x+1}}{x^2}=\frac{（ax-1）（x-1）}{x^2}$．
（1）当a≤0 时，ax-1＜0，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1，则函数f（x） 的单调递增区间为（0，1），
令f'（x）＜0，解得x＞1，函数f（x） 单调递减区间为（1，+∞）．
所以函数f（x） 的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（2）当0＜a＜1，令f'（x）＜0，解得1＜x＜$\frac{1}{a}$，则函数f（x） 的单调递减区间为 （1，$\frac{1}{a}$）；
令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或x＞$\frac{1}{a}$，则函数f（x） 的单调递增区间为 （0，1），（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（3）当a=1时，f'（x）≥0恒成立，则则函数f（x） 的单调递增区间为（0，+∞），
（4）当a＞1时，$\frac{1}{a}$＜1，令f'（x）＜0，解得$\frac{1}{a}$＜x＜1，则函数f（x） 的单调递减区间为 （$\frac{1}{a}$，1）；
令f'（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{a}$或x＞1，则函数f（x） 的单调递增区间为 （0，$\frac{1}{a}$），（1，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得当a=1时，函数f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上单调递增，则f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$-e-2＜1，故不满足条件，
若a≥e，则由（Ⅰ）知，函数f（x） 在（1，e ）上单调递增，在（$\frac{1}{e}$，1）单调递减，
f（x）_min=f（1）=a-1＞e-1＞1，满足条件
当1＜a＜e时，由（Ⅰ）知，函数f（x） 在（$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{a}$），（1，e ）上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，1）单调递减，
当x=1时，函数f（x）有极小值，极小值为a-1，
若极小值为最小值，f（x）＞1在区间[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，则a-1＞1，解得2＜a＜e，
若f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{a}{e}$-e+a+1，
则$\frac{a}{e}$-e+a+1＞1，
即a＞$\frac{{e}^{2}}{e+1}$
因为$\frac{{e}^{2}}{e+1}$＜2，
综上所述a的取值范围为（2，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调性和单调区间的判断，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．要注意对参数进行分类讨论，属于中档题．