Question

在直角坐标系xOy的第一象限，抛物线y=x²上，有一系列点B₁，B₂，…，B_n，…，它们在x轴上的投影分别是A₁，A₂，…，A_n，…，A₁，A₂，…A_n的顺序自右向左，其中A₁的横坐标是x₁=1，A₂的横坐标为x₂，…，A_n的横坐标为x_n，且A₂B₁的斜率为2x₁，A₃B₂的斜率为2x₂，…，A_n+1B_n的斜率是2x_n，…

　　(1)求和S₁=|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A_nB_n|+…．

(2)求和S₂=|B₁A₂|²+|B₂A₃|²+…+|B_nA_n+1|²+…．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意知A1(1，0)，∴　B1(1，1)．∴　x11． 　　∵　A2B12x12，∴　，，． 　　∵　，∴　，…， 　　设An(xn，0)，∵　Bn在yx2上，∴　Bn(xn，)， 　　∵　An1Bn斜率为2xn，∴　，∴　，∴　，∴　，∴　{xn}是以x11是首项，公比的等比数列． 　　又∵　|AnBn|，∴　{|AnBn|}是首项为1，公比为的等比数列，∴　． 　　(2)∵　|BnAn1|2|AnAn1|2|AnBn|2(xnxn1)2， 　　∴　 ．