Question

8．在△ABC中，c=2，C=$\frac{π}{3}$，若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 用A表示出B，代入条件式得出关于A的方程，利用两角和差的正弦函数公式计算A，再利用正弦定理解出a，b，得出三角形面积．

解答 解：∵C=$\frac{π}{3}$，∴B=$\frac{2π}{3}-A$，B-A=$\frac{2π}{3}-2A$，
∵sinC+sin（B-A）=2sin2A，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sin（$\frac{2π}{3}-2A$）=2sin2A，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A+$\frac{1}{2}$sin2A=2sin2A，
∴$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
解得A=$\frac{π}{6}$或A=$\frac{π}{2}$．
（1）若A=$\frac{π}{6}$，则B=$\frac{π}{2}$，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
即$\frac{a}{\frac{1}{2}}=\frac{b}{1}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ac$=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）若A=$\frac{π}{2}$，则B=$\frac{π}{6}$，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
即$\frac{a}{1}=\frac{b}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，解得a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
综上，S_△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，属于中档题．