Question

（12分）（2009•宁夏）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1

（1）求椭圆C的方程；

（2）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，，e为椭圆C的离心率，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

 

Answer 1

（1）+=1；

（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据题意，椭圆的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1，分析可得这个顶点是长轴的端点，则有a+c=7，a﹣c=1；解可得ac的值，进而可得b的值，即可得答案；

（2）设M（x，y），P（x，y1 ），根据椭圆的方程为+=1且P在椭圆上，可得e的值与y12=①；根据题意，有=e2=②；联立①②化简可得答案．

【解析】
（1）根据题意，椭圆的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1，

则这个顶点不会是短轴的端点，而是长轴的端点，

则有a+c=7，a﹣c=1；

解可得a=4，c=3；

则b=；

故椭圆的方程为+=1；

（2）设M（x，y），P（x，y1 ），

椭圆的方程为+=1中，e==；

又由椭圆方程为+=1，且P在椭圆上，即y12=①；

根据题意得=e2=②；

①②联立化简可得，y2=；

即y=±，（﹣4≤x≤4）

其轨迹是两条平行于x轴的线段．