Question

7．在极坐标系中，P是曲线C₁：ρ=12sinθ上的动点，Q是曲线C₂：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=-10上的动点．
（1）请判断C₁，C₂分别是什么图形；
（2）求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁：ρ=12sinθ，即ρ²=12ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．曲线C₂：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=-10，展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）+10=0，利用互化公式即可得出直角坐标方程．
（2）求出圆心到直线的距离d，即可得出|PQ|的最小值为d-6．

解答 解：（1）曲线C₁：ρ=12sinθ，即ρ²=12ρsinθ，
化为直角坐标方程：x²+y²=12y，
配方为：x²+（y-6）²=36，
表示以（0，6）为圆心，6为半径的圆．
曲线C₂：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=-10，
展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）+10=0，
化为直角坐标方程：x+y+10$\sqrt{2}$=0．
表示一条直线．
（2）圆心到直线的距离d=$\frac{6+10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=10+3$\sqrt{2}$．
∴|PQ|的最小值为d-6=4+3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．