Question

5．已知二次函数f（x）=ax²-bx+2．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，求a和b的值；
（2）若b=2a+1，对任意a∈[$\frac{1}{2}$，1]，f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，所以与之对应的二次方程ax²-bx+2=0的两个根为1，2，由韦达定理可得a和b的值；
（2）若b=2a+1，对任意a∈[$\frac{1}{2}$，1]，f（x）＞0恒成立，则g（a）=a（x²-2x）-x+2中$\left\{\begin{array}{l}g（1）＞0\\ g（\frac{1}{2}）＞0\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：（1）不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，
所以与之对应的二次方程ax²-bx+2=0的两个根为1，2，
由韦达定理得：a=1，b=3                 …（4分）
（2）若b=2a+1，对任意a∈[$\frac{1}{2}$，1]，
则f（x）=ax²-（2a+1）x+2．
令g（a）=a（x²-2x）-x+2，
若对任意a∈[$\frac{1}{2}$，1]，f（x）＞0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}g（1）＞0\\ g（\frac{1}{2}）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-3x+2＞0\\{\frac{1}{2}x}^{2}-2x+2＞0\end{array}\right.$，…（8分）
解得：x＞2或x＜1…（10分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．