Question

16．已知椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F为椭圆是上焦点，点A，B分别为椭圆的左右顶点，过点B作AF的垂线，垂足为N．
（1）若a=$\sqrt{2}$，△ABM的面积为1，求椭圆方程；
（2）是否存在椭圆，使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由k_AF=$\frac{c}{b}$，直线AF：-$\frac{x}{b}$+$\frac{y}{c}$=1，则k_BD=-$\frac{b}{c}$，直线BD：y=-$\frac{b}{c}$（x-b），联立求得M点坐标，利用三角形的面积公式，即可求得b的值，求得椭圆方程；
（2）由（1）可知：B，D关于点M对称，求得D点坐标，假设存在D点，代入椭圆方程，解得：c=0，a=c，不合题意，故不存在这样的椭圆．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），焦点在y轴上，k_AF=$\frac{c}{b}$，直线AF：-$\frac{x}{b}$+$\frac{y}{c}$=1，
∵BD⊥AC，
∴k_BD=-$\frac{b}{c}$，直线BD：y=-$\frac{b}{c}$（x-b），
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{x}{b}+\frac{y}{c}=1}\\{y=-\frac{b}{c}（x-b）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{M}=\frac{b（{b}^{2}-{c}^{2}）}{{b}^{2}+{c}^{2}}}\\{{y}_{M}=\frac{2c{b}^{2}}{{b}^{2}+{c}^{2}}}\end{array}\right.$，
则△ABM的面积S=$\frac{1}{2}$×2b×$\frac{2c{b}^{2}}{{b}^{2}+{c}^{2}}$=1，
由a=$\sqrt{2}$，解得：b=1，
∴椭圆方程$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1$；
（2）由已知B关于AF的对称点D，BD⊥AF于M，
∴B，D关于点M对称，
由中点坐标公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{D}=\frac{b（{b}^{2}-3{c}^{2}）}{{b}^{2}+{c}^{2}}}\\{{y}_{D}=\frac{4{b}^{2}c}{{b}^{2}+{c}^{2}}}\end{array}\right.$，
假设存在椭圆使得B关于直线AF的对称点D仍在椭圆上，将D点坐标代入椭圆方程：整理得：a⁴-2a²c²+2c⁴=0，
则（a²-c²）²+c⁴=0，
∴c=0，a=c，不合题意，
故不存在这样的椭圆．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线的斜率公式，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．